Đề bài
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó A∈Δ và A′∈Δ′. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng (α) lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) là M1.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc φ=(Δ,Δ′)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh ba điểm A,M′,M1 cùng nhìn A'M một góc 900.
Tình bán kính và suy ra diện tích theo công thức S=4πR2.
Lời giải chi tiết
a) Theo giả thiết ta có: ^A′M′M=^A′AM=^A′M1M=900
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính r=A′M2
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó cosφ=MM1AM nên AM=MM1cosφ=xcosφ
Do đó A′M2=a2+x2cos2φ
⇒A′M=√a2cos2φ+x2cos2φ=1cosφ√a2cos2φ+x2
Mặt cầu tâm O có bán kính r=A′M2=12cosφ√a2cos2φ+x2
Diện tích của mặt cầu tâm O là: S=4πr2=π(2r)2=π(A′M)2=π(a2+x2cos2φ)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với Δ.
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
