Giải bài 3.8 trang 165 SBT giải tích 12

133 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{{1 + \sin x}}$ ?

LG câu a

a) $F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Ta có: $F'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{1 - \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)}}$ $= \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)$

Do đó $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

LG câu b

b) $G(x) = 2\tan \dfrac{x}{2}$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$G'\left( x \right) = \left( {2\tan \dfrac{x}{2}} \right)'$ $= 2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$ $= \dfrac{2}{{1 + \cos x}} \ne f\left( x \right)$ nên $G\left( x \right)$ không là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

LG câu c

c) $H(x) = \ln (1 + \sin x)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$H'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]'$ $= \dfrac{{\left( {1 + \sin x} \right)'}}{{1 + \sin x}}$ $= \dfrac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} \ne f\left( x \right)$ nên $H\left( x \right)$ không là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

LG câu d

d) $K(x) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)$

Phương pháp giải:

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Giải chi tiết:

$K'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)'$ $= - 2.\dfrac{{ - \left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}.\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$ $= \dfrac{1}{{1 + \sin x}} = f\left( x \right)$ .

Vậy $K\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ .

SBT Toán lớp 12