Giải bài 3.1 trang 163 SBT giải tích 12

137 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

LG câu a

a) $f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )$ và $g(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )$ là một nguyên hàm của $g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}$ vì $\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]'$ $= \dfrac{{1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}$ $= \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

LG câu b

b) $f(x) = {e^{\sin x}}\cos x$ và $g(x) = {e^{\sin x}}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số $g(x) = {e^{\sin x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{\sin x}}\cos x$

vì $\left( {{e^{\sin x}}} \right)' = \left( {\sin x} \right)'{e^{\sin x}} = \cos x{e^{\sin x}}$

LG câu c

c) $f(x) = {\sin ^2}\dfrac{1}{x}$ và $g(x) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}$

vì $\left( {{{\sin }^2}\dfrac{1}{x}} \right)' = 2\sin \dfrac{1}{x}.\left( {\sin \dfrac{1}{x}} \right)'$ $= 2\sin \dfrac{1}{x}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.\cos \dfrac{1}{x}$ $= - \dfrac{1}{{{x^2}}}.\left( {2\sin \dfrac{1}{x}\cos \dfrac{1}{x}} \right)$ $= - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}$

LG câu d

d) $f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ và $g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số $g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ vì $\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right)'$ $= \dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$ $= \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}$

LG câu e

e) $f(x) = {x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}$ và $g(x) = (2x - 1){e^{\dfrac{1}{x}}}$

Phương pháp giải:

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}$ vì $\left( {{x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)' = 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}\left( {{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)'$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.{e^{\dfrac{1}{x}}}$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right).{e^{\dfrac{1}{x}}}$ $= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} - {e^{\dfrac{1}{x}}} = \left( {2x - 1} \right){e^{\dfrac{1}{x}}}$

SBT Toán lớp 12