Đề bài
Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} + m{x^2} + x - 5 = 0\) có nghiệm dương.
A. \(m = 5\) B. \(m \in \mathbb{R}\)
C. \(m = - 3\) D. \(m < 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) và \(f\left( 0 \right) < 0\) rồi kết luận.
Sử dụng lý thuyết: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + m{x^2} + x - 5\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có:
\(f\left( 0 \right) = - 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên sẽ tồn tại ít nhất một giá trị \({x_0} > 0\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\).
Khi đó \(f\left( 0 \right).f\left( {{x_0}} \right) < 0\) nên tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;{x_0}} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay \(x = c > 0\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).
Vậy phương trình luôn có nghiệm \(x = c > 0\) với mọi \(m\).
Chọn B.
