Giải bài 4.28 trang 206 SBT giải tích 12

132 lượt xem

Đề bài

Biết ${z_1}$ và ${z_2}$ là hai nghiệm của phương trình $2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0$ . Hãy tính:

a) $z_1^2 + z_2^2$ b) $z_1^3 + z_2^3$

c) $z_1^4 + z_2^4$ d) $\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hệ thức Vi – et:

Phương trình $a{z^2} + bz + c = 0(a\ne 0)$ luôn có hai nghiệm thỏa mãn ${z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a},{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}$ trong tập số phức $\mathbb{C}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}$ . Từ đó suy ra:

a) $z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}$ $= \dfrac{3}{4} - 3 = - \dfrac{9}{4}$

b) $z_1^3 + z_2^3$ $= \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)$ $= - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}$

c) $z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2.z_2^2$ $= {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}$

d) $\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}$ $= \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{3}{2}$

SBT Toán lớp 12