Giải bài 2.96 trang 136 SBT giải tích 12

127 lượt xem

Đề bài

Phương trình $\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. $\displaystyle 0$ B. $\displaystyle 1$

C. $\displaystyle 2$ D. Vô số

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chia cả hai vế của phương trình cho $\displaystyle {2^x}$ và sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^x} = {2^x}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {2^x} \end{array}$

Chia cả hai vế của phương trình cho $2^x$ ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} = 1 \end{array}$

Xét hàm $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}$ có

$f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0$ với mọi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$

vì ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} < 0$ và ${\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0$

Do đó hàm số $\displaystyle f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .

Mà $\displaystyle f\left( 2 \right) = 1$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle x = 2$ .

Chọn B.

SBT Toán lớp 12