Đề bài
Phương trình \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm?
A. \(\displaystyle 0\) B. \(\displaystyle 1\)
C. \(\displaystyle 2\) D. Vô số
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\displaystyle {2^x}\) và sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^x} = {2^x}\\
\Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {2^x}
\end{array}\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(2^x\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 1\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} = 1
\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) có
\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\) với mọi \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)
vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} < 0\) và \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\)
Do đó hàm số \(\displaystyle f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Mà \(\displaystyle f\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle x = 2\).
Chọn B.
