Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.
Lời giải chi tiết
a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\) hay \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \) (1)
Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \)
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
Nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (2)
Vì \(\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD} \)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \) là đẳng thức cần chứng minh.
b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)
Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \) (3)
Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \)
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \)
Nên \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \) (4)
Vì \(\overrightarrow {CB} - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)
Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.
