Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) →AB+→CD=→AD+→CB=2→MN
b) →AB−→CD=→AC−→BD=2→PQ
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.
Lời giải chi tiết
a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì →MP=→QN=12→CD và →MQ=→PN=12→AB.
Do đó →MN=→MQ+→MP=→AB2+→CD2 hay 2→MN=→AB+→CD (1)
Mặt khác →AB=→AD+→DB
→CD=→CB+→BD
Nên →AB+→CD=→AD+→CB (2)
Vì →DB=−→BD
Từ (1) và (2) ta có: →AB+→CD=→AD+→CB=2→MN là đẳng thức cần chứng minh.
b) Ta có: →PQ=→MQ−→MP=→AB2−→CD2
Do đó: 2→PQ=→AB−→CD (3)
Mặt khác: →AB=→AC+→CB
→CD=→BD−→BC
Nên →AB−→CD=→AC−→BD (4)
Vì →CB−(−→BC)=→0
Từ (3) và (4) ta suy ra →AB−→CD=→AC−→BD=2→PQ là đẳng thức cần chứng minh.
