Xác định \(m \) để hàm số sau:
LG câu a
a) \(y = {{mx - 4} \over {x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định;
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ \(D\).
- Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến trên \(D\) nếu \(y'>0,\forall x\in D\).
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: D = R\{m}
\(y' = \frac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y' > 0,\forall x \ne m\\
\Leftrightarrow \frac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m
\end{array}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow - {m^2} + 4 > 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \cr} \)
LG câu b
b) \(y = - {x^3} + m{x^2} - 3x + 4\) nghịch biến trên \((-\infty;+\infty )\)
Phương pháp giải:
- Hàm số đa thức bậc ba nghịch biến trên \(R\) nếu \(y' \le 0,\forall x\in R\).
- Tam thức bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\le 0,\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = R\)
\(y' = - 3{x^2} + 2mx - 3\)
Hàm số nghịch biến trên R
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 2mx - 3 \le 0,\forall x \in R\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 3 < 0\left( {\text{đúng}} \right)\\
\Delta ' = {m^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0\\
\Leftrightarrow {m^2} \le 9\\
\Leftrightarrow - 3 \le m \le 3
\end{array}\)
