Tính các nguyên hàm sau:
LG câu a
a) ∫x(3−x)5dx
Phương pháp giải:
Đổi biến t=3−x.
Giải chi tiết:
Đặt t=3−x⇒dt=−dx.
Khi đó ∫x(3−x)5dx =∫(3−t).t5.(−dt) =∫(−3t5+t6)dt =−3.t66+t77+C =−(3−x)62+(3−x)77+C
LG câu b
b) ∫(2x−3x)2dx
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản ∫axdx=axlna+C.
Giải chi tiết:
Ta có: ∫(2x−3x)2dx=∫(22x+32x−2.2x.3x)dx =∫22xdx+∫32xdx−2∫6xdx =∫4xdx+∫9xdx−2.∫6xdx =4xln4+9xln9−2.6xln6+C.
LG câu c
c) ∫x√2−5xdx
Phương pháp giải:
Đổi biến t=√2−5x.
Giải chi tiết:
Đặt t=√2−5x⇒t2=2−5x ⇒2tdt=−5dx⇒dx=−2tdt5
Khi đó ∫x√2−5xdx =∫2−t25.t.(−2tdt5) =−225∫(2t2−t4)dt =−225(23t3−t55)+C
=−475(√2−5x)3+2125(√2−5x)5+C
LG câu d
d) ∫ln(cosx)cos2xdx
Phương pháp giải:
Đặt u=ln(cosx),dv=dxcos2x và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ∫udv=uv−∫vdu.
Giải chi tiết:
Đặt u=ln(cosx),dv=dxcos2x suy ra {du=−sinxcosx=−tanxv=tanx
Khi đó ∫ln(cosx)cos2xdx=tanxln(cosx)+∫tan2xdx
=tanxln(cosx)+∫(tan2x+1−1)dx =tanxln(cosx)+∫(tan2x+1)dx+∫dx
=tanxln(cosx)+tanx−x+C =tanx[ln(cosx)+1]−x+C
LG câu e
e) ∫xsin2xdx
Phương pháp giải:
Đặt u=x,dv=dxsin2x và sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ∫udv=uv−∫vdu.
Giải chi tiết:
Đặt u=x,dv=dxsin2x⇒{du=dxv=−cotx
Khi đó ∫xsin2xdx=−xcotx+∫cotxdx =−xcotx+∫cosxsinxdx =−xcotx+∫d(sinx)sinx
=−xcotx+ln|sinx|+C
LG câu g
g) ∫x+1(x−2)(x+3)dx
Phương pháp giải:
Tách x+1(x−2)(x+3)=35(x−2)+25(x+3) và tính nguyên hàm theo công thức ∫1ax+bdx=ln|ax+b|a+C.
Giải chi tiết:
Ta có x+1(x−2)(x+3)=35(x−2)+25(x+3)
Khi đó ∫x+1(x−2)(x+3)dx=∫(35(x−2)+25(x+3))dx =35∫dxx−2+25∫dxx+3
=35ln|x−2|+25ln|x+3|+C =15[ln|x−2|3(x+3)2]+C
LG câu h
h) ∫11−√xdx
Phương pháp giải:
Đổi biến đặt t=√x.
Giải chi tiết:
Đặt t=√x⇒x=t2⇒dx=2tdt.
Khi đó ∫11−√xdx=∫11−t.2tdt=∫(−2+21−t)dx
=−2t−2ln|1−t|+C =−2√x−2ln|1−√x|+C
LG câu i
i) ∫sin3xcos2xdx
Phương pháp giải:
Khai triển sin3x.cos2x=12(sinx+sin5x) và tính nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Ta có: sin3x.cos2x=12(sinx+sin5x).
Khi đó ∫sin3xcos2xdx=12∫(sinx+sin5x)dx
=12(−cosx−cos5x5)+C=−12(cosx+15cos5x)+C.
