Đề bài
Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh \(2a\) có diện tích xung quanh là \({S_1}\) và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích \({S_2}\). Khi đó hệ thức giữa \({S_1}\) và \({S_2}\) là:
A. \({S_1} = {S_2}\) B. \({S_1} = 4{S_2}\)
C. \({S_2} = 2{S_1}\) D. \(2{S_2} = 3{S_1}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng hình, tính các diện tích xung quanh của hình nón và diện tích mặt cầu rồi so sánh.
Chú ý: \({S_{xq}} = \pi rl\), \({S_{mc}} = 4\pi {r^2}\).
Lời giải chi tiết
Bán kính đáy hình nón là \(a\), chiều cao là \(a\sqrt 3 \), đường sinh là \(2a\).
Diện tích xung quanh \({S_1} = \pi rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}\).
Mặt cầu có bán kính \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \({S_2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2}\).
Do đó \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{2\pi {a^2}}}{{3\pi {a^2}}} \Rightarrow 3{S_1} = 2{S_2}\).
Chọn D.
