Cho hàm số: \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4}\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
Khảo sát tóm tắt:
- Tìm TXĐ, tính đạo hàm \(y'\).
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Có \(y' = {x^3} - 4x;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục \(Ox\).
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Ox\).
- Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Giải chi tiết:
\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 3\end{array} \right.\)
Nên \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).
Ta có: \(y' = {x^3} - 4x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 3 \right) = 15\\y'\left( { - 3} \right) = - 15\end{array} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( {3;0} \right)\) là \(y = 15\left( {x - 3} \right) + 0\) hay \(y = 15x - 45\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) là \(y = - 15\left( {x + 3} \right) + 0\) hay \(y = - 15x - 45\).
LG c
Biện luận theo \(k\) số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k-2{x^2}\).
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Biện luận số giao điểm theo số nghiệm của phương trình và kết luận.
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = k - 2{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^4} = 9 + 4k\,\,\left( * \right)\)
+) Nếu \(9 + 4k > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \sqrt {9 + 4k} \\{x^2} = - \sqrt {9 + 4k} \left( L \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[4]{{9 + 4k}}\) hay \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
+) Nếu \(9 + 4k = 0 \Leftrightarrow k = - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(9 + 4k < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right)\) vô nghiệm.
Vậy: +) \(k = - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) có một điểm chung là \(\left( {0; - \dfrac{9}{4}} \right)\)
+) \(k > - \dfrac{9}{4}\): (C) và (P) có hai giao điểm.
+) \(k < - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) không cắt nhau.
