Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:
LG a
a) g(x) = |x3 + 3x2 – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]
Lời giải chi tiết:
a) Xét hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 72x + 90\) trên đoạn [-5; 5]
\(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 72;\)
\(f'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 4} \cr {x = - 6 \notin {\rm{[}} - 5;5]} \cr} } \right.\)
\(f( - 5) = 400;\) \(f(5) = - 70;\) \(f(4) = - 86\)
Ngoài ra, f(x) liên tục trên đoạn [-5; 5] và \(f( - 5).f(5) < 0\) nên tồn tại \({x_0} \in ( - 5;5)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)
Ta có \(g(x) = |f(x)| \ge 0\) và \(g({x_0}) = |f({x_0})| = 0;\) \(g( - 5) = |400| = 400\);
\(g(5) = |-70| = 70 ;\) \( g(4) = |f(4)| = |-86| = 86\)
Vậy \(\mathop {\min g(x)}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]} = g({x_0}) = 0\)
\(\mathop {{\rm{max }}g(x)}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]} = g( - 5) = 400\)
LG b
b) f(x) = x4 – 4x2 + 1 trên đoạn [-1; 2]
Lời giải chi tiết:
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right)\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\\
f\left( { - 1} \right) = - 2\\
f\left( 0 \right) = 1\\
f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 3\\
f\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 3\\
f\left( 2 \right) = 1
\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\min f(x)}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]} = f(\sqrt 2 ) = - 3;\) \(\mathop {{\rm{max f}}(x)}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]} = f(2) = f(0) = 1\)
LG c
c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng \((0; + \infty )\)
Lời giải chi tiết:
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{{x - 1}}{x}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)
\end{array}\)
Ngoài ra, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua điểm \(x=1\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({f_{CT}} = f\left( 1 \right) = 4\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên hàm số không có GTLN.
Vậy \(\mathop {\min f(x)}\limits_{(0; + \infty )} = f(1) = 4\) . Không có giá trị lớn nhất.
