Đề bài
Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau có cực trị: \(y = {x^3} - 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 3} \right)x - 5\)
A. \(m \ge 0\) B. \(m \in \mathbb{R}\)
C. \(m < 0\) D. \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số có cực trị nếu đạo hàm đổi dấu trên TXĐ \(D\).
Lời giải chi tiết
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 3} \right)\).
Hàm số có cực trị nếu đạo hàm đổi dấu trên \(\mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 3} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 3} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 4} \right) > 0\) (luôn đúng với \(\forall m\))
(Vì \({m^2} - m + 4 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi m)
Vậy với mọi \(m \in \mathbb{R}\) thì hàm số luôn có cực trị.
Chú ý:
Cũng có thể giải thích \({m^2} - m + 4 > 0,\forall m\) bằng cách tính \({\Delta _m} = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.4 = - 15 < 0\)
Chọn B.
