Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
f(x)=√25−x2 trên đoạn [−4;4]
Phương pháp giải:
- Tính f′(x), tìm các điểm trong đoạn [a;b] làm cho f′(x)=0 và không xác định.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên, so sánh và kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: f′(x)=−x√25−x2=0 ⇔x=0∈[−4;4]
Mặt khác, ta có f(−4)=f(4)=3; f(0)=5.
Vậy min[−4;4]f(x)=3;max[−4;4]f(x)=5
LG b
f(x)=|x2−3x+2| trên đoạn [−10;10]
Phương pháp giải:
- Lập bảng biến thiên của hàm số y=g(x)=x2−3x+2.
- Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y=f(x)=|g(x)|.
Giải chi tiết:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=g(x)=x2−3x+2.
Ta có: g′(x)=2x−3;g′(x)=0⇔x=32
Bảng biến thiên:
Vì f(x)={g(x),x2−3x+2≥0−g(x),x2−3x+2<0 nên ta có bảng biến thiên của y = f\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right| như sau:
Từ bảng biên thiên suy ra: \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f( - 10) = 132
LG c
f(x) = \dfrac{1}{{\sin x}} trên đoạn \left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]
Phương pháp giải:
- Tính f'\left( x \right), tìm các điểm trong đoạn \left[ {a;b} \right] làm cho f'\left( x \right) = 0 và không xác định.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên, so sánh và kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: f'\left( x \right) = - \dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.
Mà x \in \left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]nên x = \dfrac{\pi }{2}.
Mà f\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }},f\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 2, f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.
Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]} f(x) = 1;\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right]} f(x) = 2.
LG d
f(x) = 2\sin x + \sin 2x trên đoạn \left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]
Phương pháp giải:
- Tính f'\left( x \right), tìm các điểm trong đoạn \left[ {a;b} \right] làm cho f'\left( x \right) = 0 và không xác định.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên, so sánh và kết luận.
Giải chi tiết:
Ta có: f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2}
f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \dfrac{x}{2} = 0}\\{\cos \dfrac{{3x}}{2} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi }\\{x = \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right. (do x \in \left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right])
Ta có: f(0) = 0,f\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2},f(\pi ) = 0,f\left( {\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = - 2
Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]} f(x) = - 2;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]} f(x) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.
