Giải bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12

143 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông ở $B$ . Cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Từ $A$ kẻ các đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $SB$ và $AE$ vuông góc với $SC$ . Biết rằng $AB = a,BC = b,SA = c$ .

LG a

Hãy tính thể tích khối chóp $S.ADE$

Phương pháp giải:

- Chứng minh $SE \bot \left( {ADE} \right)$ .

- Tính diện tích tam giác $ADE$ và chiều cao $SE$ .

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$ .

Giải chi tiết:

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)$

Vì $AD \subset (SAB)$ nên $AD \bot BC$

Mặt khác $AD \bot SB$ nên $AD \bot (SBC)$

Từ đó suy ra $AD \bot SC$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SC \bot AE}\\{SC \bot AD}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow SC \bot (ADE) \Rightarrow SC \bot DE$ hay $SE \bot (ADE)$ .

Trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA.AB = AD.SB$ $\Rightarrow AD = \dfrac{{AB.SA}}{{SB}} = \dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

Tương tự, trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $AE = \dfrac{{SA.AC}}{{SC}} = \dfrac{{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Do $AD \bot (SBC)$ nên $AD \bot DE$ . Từ đó suy ra:

$DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}$ $= \sqrt {\dfrac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - \dfrac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}}$ $= \dfrac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}$

$SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}$ $= \sqrt {{c^2} - \dfrac{{{c^2}({a^2} + {b^2})}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}$ $= \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Vậy ${V_{S.ADE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AD.DE.SE$ $= \dfrac{1}{6}\dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\dfrac{{{c^2}b}}{{\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.\dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$= \dfrac{{ab{c^5}}}{{6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}$

LG b

Tính khoảng cách từ $E$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ .

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác $SAD$ .

- Sử dụng công thức ${V_{SADE}} = \dfrac{1}{3}d.{S_{SAD}}$ và kết quả câu a để suy ra $d$ .

Giải chi tiết:

Gọi $d$ là khoảng cách từ $E\;$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$

Ta có: $SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}}$ $= \sqrt {{c^2} - \dfrac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

${V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}SD.AD.d$ $= \dfrac{1}{6}.\dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\dfrac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.d$ $= \dfrac{1}{6}.\dfrac{{a{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}.d$

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra $d = \dfrac{{b{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$ .

SBT Toán lớp 12