Đề bài
Chứng minh rằng hàm số: f(x)={−2x,∀x≥0sinx2,∀x<0 không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét sự tồn tại của giới hạn limx→0f(x)−f(0)x−0 và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm x = 0.
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
Lời giải chi tiết
Hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x;x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2};x < 0}\end{array}} \right. không có đạo hàm tại x = 0 vì:
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} = - 2,
+) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}
Vì - 2 \ne \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}
Do đó không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} nên không có đạo hàm của hàm số tại x=0.
Mặt khác, với x < 0\; thì y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}, với x > 0 thì y' = - 2 < 0
Xét trên đoạn \left[ { - \pi ;\pi } \right] ta có bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và {y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0.
