Giải bài 2.2 trang 47 SBT hình học 12

130 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng $a$ .

LG a

Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2}$ và $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ .

Lời giải chi tiết:

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh $a$ nên hình nón có đường sinh $l=a$ , có đường kính đáy $a\sqrt 2$ nên bán kính đáy $r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ , và có chiều cao $h = r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Gọi ${S_{xq}}$ là diện tích xung quanh của hình nón, ta có: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}$

Gọi $S$ là diện tích đáy của hình nón, ta có ${S_d} = \pi {r^2} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$

Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho là:

${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}$ $= \dfrac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 2 + \dfrac{1}{2}\pi {a^2}$ $= \dfrac{1}{2}\pi {a^2}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$

Hình nón có thể tích là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ $= \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ $= \dfrac{1}{{12}}\pi {a^3}\sqrt 2$

LG b

Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60^0}$ . Tính diện tích thiết diện được tạo nên.

Phương pháp giải:

Xác định góc ${60^0}$ (góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc giao tuyến).

Tính diện tích theo công thức $S = \dfrac{1}{2}dh$ với $d$ là độ dài cạnh đáy tam giác, $h$ là chiều cao

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng $(DAM)$ đi qua đỉnh $D$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60^0}$ , cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $M$ .

Từ tâm $O$ của đường tròn đáy ta vẽ $OH \bot AM$ , do vậy $H$ là trung điểm của đoạn $AM$ . Ta có $AM \bot (DOH)$ vì $AM \bot OH$ và $AM \bot DO$ .

Vậy $\widehat {DHO} = {60^0}$ và $\sin {60^0} = \dfrac{{DO}}{{DH}}$ hay $DH = \dfrac{{DO}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$

Gọi ${S_{\Delta DAM}}$ là diện tích thiết diện cần tìm, ta có: ${S_{\Delta DAM}} = \dfrac{1}{2}AM.DH = AH.DH$

Mà $A{H^2} = D{A^2} - D{H^2}$ $= {a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{3}$ $\Rightarrow AH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$

Vậy ${S_{\Delta DAM}} = AH.DH$ $= \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}$

SBT Toán lớp 12