Giải bài 2.102 trang 137 SBT giải tích 12

130 lượt xem

Đề bài

Số nghiệm của phương trình $\displaystyle {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005$ là:

A. $\displaystyle 0$ B. $\displaystyle 1$

C. $\displaystyle 2$ D. Vô số

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.

Lời giải chi tiết

Xét hàm $\displaystyle f\left( x \right) = {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x$ trên $\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)$ có:

$\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 2003}} + \frac{1}{{x\ln 2004}} > 0$ với mọi $\displaystyle x > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)$ .

Mà $f\left( 1 \right) = {\log _{2003}}1 + {\log _{2004}}1 = 0$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{{\log }_{2003}}x + {{\log }_{2004}}x} \right) = + \infty$

Nên đường thẳng $y=2005$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại duy nhất 1 điểm.

Do đó tồn tại duy nhất giá trị $\displaystyle {x_0} > 1$ sao cho $\displaystyle f\left( {{x_0}} \right) = 2005$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

SBT Toán lớp 12