LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x+2x−3
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{3}.
Có y′=−5(x−3)2<0,∀x≠3 nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (−∞;3) và (3;+∞).
Hàm số đã cho không có cực trị.
TCĐ: x=3 và TCN y=1.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).
Phương pháp giải:
- Tìm tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận.
- Viết công thức đổi tọa độ suy ra phương trình của hàm số trong hệ tọa độ mới.
Công thức tịnh tiến hệ tọa độ:
Cho điểm I(x0;y0),M(x;y) đối với hệ tọa độ Oxy.
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ →OI là: {x=X+x0y=Y+y0
Khi đó điểm I(0;0),M(X,Y) đối với hệ tọa độ IXY.
- Kiểm tra hàm số trong hệ tọa độ mới có làm hàm số lẻ hay không và kết luận.
Nếu hàm số Y=g(X) là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới IXY) thì điểm I(x0;y0) trong hệ tọa độ Oxy là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x).
Giải chi tiết:
Tiệm cận đứng là đường thẳng x=3.
Tiệm cận ngang là đường thẳng y=1.
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3;1).
Thực hiện phép biến đổi: {x=X+3y=Y+1 ta được Y+1=X+5X⇔Y=X+5X−1⇔Y=5X.
Vì Y=5X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận điểm I(3;1) làm tâm đối xứng trong hệ tọa độ cũ.
LG c
Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Phương pháp giải:
- Gọi điểm M(x0;y0)∈(C).
- Tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận.
- Lập phương trình ẩn x0, dựa vào điều kiện khoảng cách bằng nhau của đề bài.
- Giải phương trình tìm x0 và kết luận.
Giải chi tiết:
Giả sử M(x0;y0)∈(C).
Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có: d1=|x0−3|,d2=|y0−1|=5|x0−3|
Suy ra |x0−3|=5|x0−3| ⇔(x0−3)2=5 ⇔[x0−3=√5x0−3=−√5 ⇔[x0=3+√5x0=3−√5
Với x0=3+√5⇒y0=1+√5 nên ta có điểm M(3+√5;1+√5).
Với x0=3−√5⇒y0=1−√5 nên ta có điểm M(3−√5;1−√5).
Vậy có hai điểm M1(3+√5;1+√5) và M2(3−√5;1−√5).
