Đề bài
Xác định giá trị của tham số m để phương trình 2x3+3mx2−5=0 có nghiệm duy nhất.
A. m=3√5 B. m<3√5
C. m>3√5 D. m∈R
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp hàm số:
- Xét hàm , tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm.
- Biến luận nghiệm theo các cực trị (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Xét hàm y=2x3+3mx2−5 trên R.
Hàm số xác định và liên tục trên R.
Ta có: y′=6x2+6mx=6x(x+m); y′=0⇔[x=0x=−m
+) Nếu m=0 thì y′=6x2≥0,∀x nên hàm số đồng biến trên R.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+) Nếu m≠0 thì phương trình y′=0 có hai nghiệm phân biệt
⇒ Hàm số có hai điểm cực trị.
Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số y=2x3+3mx2−5 có một giao điểm duy nhất với trục hoành ⇔yCD.yCT>0.
Ta có: x1=0 ⇒y1=2.03+3m.02−5=−5
x2=−m ⇒y2=2.(−m)3+3m.(−m)2−5 =−2m3+3m3−5=m3−5.
y1.y2=−5(m3−5)>0 ⇔m3−5<0⇔m<3√5.
Vậy m<3√5.
Chọn B.
