Giải bài 2.1 trang 46 SBT hình học 12

130 lượt xem

Đề bài

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là $D$ , tâm của đường tròn đáy là $O$ , đường sinh bằng $l$ và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng $\alpha$ .

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi $I$ là một điểm trên đường cao $DO$ của hình nón sao cho $\dfrac{{DI}}{{DO}} = k(0 < k < l)$ . Tính diện tích thiết diện qua $I$ và vuông góc với trục của hình nón.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức: ${S_{xq}} = \pi rl$ và $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ .

b) Xác định tâm và bán kính của thiết diện (hình tròn), tính diện tích theo công thức $S = \pi {R^2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $r$ là bán kính của đường tròn đáy.

Ta có $OA{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }} = l.\cos \alpha$ (với $O$ là tâm của đường tròn đáy và $A$ là một điểm trên đường tròn đó).

Ta suy ra: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi {l^2}\cos \alpha$

Khối nón có chiều cao $h = DO = l\sin \alpha$ . Do đó thể tích $V$ của khối nón được tính theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Bh = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}.h$

Vậy : $V = \dfrac{1}{3}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha .l\sin \alpha = \dfrac{1}{3}\pi {l^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha$

b) Thiết diện qua $I$ và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính $r’$ với $\dfrac{{r'}}{r} = \dfrac{{DI}}{{DO}} = k$ $\Rightarrow r' = kr = k.l\cos \alpha$ .

Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm $I$ và vuông góc với trục hình nón là: $S = \pi r{'^2} = \pi {k^2}{l^2}{\cos ^2}\alpha$

SBT Toán lớp 12