Giải bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12

130 lượt xem

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$ và $C'D'$ . Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ chia hình hộp đó thành hai hình đa diện $\left( H \right)$ và $\left( {H'} \right)$ , trong đó $\left( H \right)$ là hình đa diện chứa đỉnh $A'$ . Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện $\left( H \right)$ và thể tích hình đa diện $\left( {H'} \right)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi $\left( {AEF} \right)$ .

- Đặt thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là $V$ .

- Tính thể tích khối đa diện $\left( H \right)$ bằng phương pháp phân chia khối đa diện.

Chú ý: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác $S.A'B'C'$ và $S.ABC$ với $A' \in SA,B' \in SB,C' \in SC$ là $\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$ .

Lời giải chi tiết

Trong $\left( {A'B'C'D'} \right)$ , gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $A'B'$ và $A'D'$ .

Trong $\left( {ADD'A'} \right)$ , gọi $M = AJ \cap D'D$ .

Trong $\left( {ABB'A'} \right)$ , gọi $L = AI \cap BB'$ .

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi $\left( {AEF} \right)$ là ngũ giác $AMFEL$ .

Khi đó $\left( H \right)$ là khối đa diện chứ đỉnh $A'$ và ${V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}$ .

Gọi ${V_0}$ là thể tích khối tứ diện $A.A'IJ$ . $V$ là thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ .

Vì $EB' = EC'$ và $B'I//C'F$ nên $IB' = FC' = \dfrac{{A'B'}}{2}$

Do đó $\dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}$

Mà $BE'//A'J\;$ , $B'L//AA'$ $\Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{{IE}}{{IJ}} = \dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \dfrac{{IL}}{{IA}}.\dfrac{{IE}}{{IJ}}.\dfrac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}$

Do đó ${V_{I.ELB'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}$

Tương tự ${V_{J.MFD'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}$

Gọi $A'B' = a,B'C' = b$ , đường cao hạ từ $A$ xuống $\left( {A'B'C'D'} \right)$ là $h$ thì $IA' = \dfrac{3}{2}A'B' = \dfrac{{3a}}{2};$ $A'J = \dfrac{3}{2}A'D' = \dfrac{{3b}}{2}$ và

$V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}$ $= {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}$ ;

${V_0} = \dfrac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h$ $= \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h$ $= \dfrac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}$

$\Rightarrow \dfrac{{{V_0}}}{V} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{{3V}}{8}$

Vậy ${V_{(H)}} = {V_0} - \dfrac{2}{{27}}{V_0}$ $= \dfrac{{25}}{{27}}{V_0} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{{3V}}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}V$

${V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{47}}{{72}}V$ $\Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{{25}}{{47}}$ .

SBT Toán lớp 12