Đề bài
Hàm số y=x3+(m+3)x2+mx−2 đạt cực tiểu tại x=1 khi:
A. m=1 B. m=2
C. m=−3 D. m=4
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đạt cực tiểu tại x=x0 ⇔{f′(x0)=0f″.
Lời giải chi tiết
Ta có: y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m; y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left( {m + 3} \right) + m = 0\\6 + 2\left( {m + 3} \right) > 0\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m + 9 = 0\\ 2m + 12 > 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3
Chọn C.
Cách khác:
y' = 3x2 + 2(m + 3)x + m
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì
y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3
Với m = -3, y' = 3x2 - 3 ⇒ y''(x) = 6x.
Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. (thỏa mãn)
Vậy m = -3.
