Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho →AC=(0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tọa độ trung điểm I của BC.
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA.
- Tìm giao điểm K của (α) với đường thẳng trên.
- Khoảng cách bằng IK.
Lời giải chi tiết
C(x;y;z)⇒→AC=(x−2;y;z)→AC=(0,6,0)⇒{x−2=0y=6z=0⇔{x=2y=6z=0⇒C(2;6;0)
I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)
→OA=(2;0;0)
OA đi qua O và nhận 12→OA=(1;0;0) làm VTCP
⇒OA:{x=ty=0z=0
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:
(α)⊥OA⇒→nα=12→OA=(1;0;0)
Phương trình mặt phẳng (α) là: x – 1 = 0
Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và (\alpha ). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.
Do đó K(1; 0; 0)
Khoảng cách từ I đến OA là: IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 5
Cách khác:
Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:
d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}
Mà \overrightarrow {OI} = \left( {1;3;4} \right),\overrightarrow {OA} = \left( {2;0;0} \right) nên \left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;8; - 6} \right)
\Rightarrow d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5.
