Đề bài
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính \(y'\).
- Tìm \(m\) từ điều kiện: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\).
- Thay \(m\) vào hàm số và kiểm tra lại theo yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết
TXĐ: \(D = R\)
\(y' = 3{x^2}-4x + m;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}-4x + m = 0\)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
\(∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < {4 \over 3}\) (*)
Hàm số có cực trị tại \(x = 1\) thì:
\(y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1\) (thỏa mãn điều kiện (*) )
Mặt khác, vì: \(y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0\) nên tại \(x = 1\) hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với \(m = 1\), hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\)
