Đề bài
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=x3−2x2+mx+1 đạt cực tiểu tại x=1.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính y′.
- Tìm m từ điều kiện: Điểm x=x0 là điểm cực trị của hàm số thì y′(x0)=0.
- Thay m vào hàm số và kiểm tra lại theo yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết
TXĐ: D=R
y′=3x2−4x+m; y′=0⇔3x2−4x+m=0
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:
∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < {4 \over 3} (*)
Hàm số có cực trị tại x = 1 thì:
y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*) )
Mặt khác, vì: y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0 nên tại x = 1 hàm số đạt cực tiểu.
Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1
