Giải bài 2.3 trang 47 SBT hình học 12

137 lượt xem

Đề bài

Cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng $a$ và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha$ . Hình nón đỉnh $S$ có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều $ABC$ gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo $a$ và $\alpha$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi rl$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$ .

Theo giả thiết ta có $SA = SB = SC = a$ và $\widehat {SIO} = \alpha$ .

Đặt $OI = r, SO = h$ , ta có $AO = 2r$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.$ (vì $S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}$ )

Do đó ${a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha + 4)$

Vậy $r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}$

Hình nón nội tiếp có đường sinh là: $l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}$

Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

${S_{xq}} = \pi rl$ $= \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}$ $= \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha + 4)}}$

SBT Toán lớp 12