Giải bài 1.36 trang 21 SBT giải tích 12

168 lượt xem

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính $y'$ và tìm nghiệm của $y' = 0$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ .

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên và hai đầu mút rồi kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'(x) = 1 - \dfrac{9}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {2;4} \right]\\x = - 3 \notin \left[ {2;4} \right]\end{array} \right.$

Mà $f\left( 2 \right) = \dfrac{{13}}{2},f\left( 3 \right) = 6,f\left( 4 \right) = \dfrac{{25}}{4}$

Suy ra : $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f(x) = 6;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}2;4]} f(x) = \dfrac{{13}}{2}$ .

Cách khác:

TXĐ: D = R\{0}

$f'\left( x \right) = 1 - \frac{9}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}$

f′(x) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-3;0), (0;3) và đồng biến trong các khoảng (−∞;3), (3;+∞)

Bảng biến thiên:

Ta có: [2;4] ⊂ (0; +∞); f(2) = 6,5; f(3) = 6; f(4) = 6,25

Suy ra

min f(x) = f(3) = 6; max f(x) = f(2) = 6,5.