Đề bài
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình chiếu của S trên mặt đáy, từ đó xác định góc giữa các mặt bên và mặt đáy.
- Tính diện tích đáy, chiều cao dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức V=13Sh.
Lời giải chi tiết
Kẻ SH⊥(ABC) và HA′,HB′,HC′ lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Theo định lí ba đường vuông góc ta có SA′⊥BC,SB′⊥CA,SC′⊥AB
Từ đó suy ra ^SA′H=^SB′H=^SC′H=600.
⇒ΔSHA′=ΔSHB′=ΔSHC′⇒HA′=HB′=HC′
Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do tam giác cân ở A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
⇒A,H,A′ thẳng hàng và A′ là trung điểm của BC.
Tam giác ΔAA′B vuông tại A′ nên AA′2=AB2−BA′2 =25a2−9a2=16a2 ⇒AA′=4a
Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r=HA′.
Ta có: p=AB+BC+CA2 =5a+6a+5a2=8a
SABC=12AA′.BC=12.4a.6a=12a2
Lại có SABC=pr⇒12a2=8a.r ⇒r=32a
Tam giác SHA' vuông tại H có SH=HA′.tan600 =3a2√3=3√32a
Thể tích khối chóp là V=13SABC.SH =13.12a2.3√32a=6√3a3
