Đề bài
Cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng điều kiện đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0\\M \in \Delta ,M \notin \left( \alpha \right)\end{array} \right.\).
- Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2;3;2)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2;1)\)
\(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \), ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \({M_0} \notin (\alpha )\) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\) \(\)
b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{2}{3}\)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\dfrac{2}{3}\).
