Cho hàm số: y=f(x)=x4−2mx2+m3−m2
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.
Phương pháp giải:
- Thay m được hàm số cần khảo sát.
- Khảo sát tóm tắt:
+ Tìm TXĐ.
+ Xét sự biến thiên.
+ Vẽ đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Với m=1 ta được hàm số y=x4−2x2.
TXĐ: D=R
Giới hạn: limx→±∞y=+∞
Chiều biến thiên:
Có y′=4x3−4x=4x(x2−1); y′=0⇔[x=−1x=0x=1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞)
Nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0;1).
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCD=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=±1 và yCT=−1.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
+) Điểm uốn: y″=12x2−4;
y″=0⇔12x2−4=0 ⇔x2=13⇔x=±1√3
Đồ thị hàm số nhận các điểm (±1√3;−59) làm điểm uốn.
+) Cắt trục Oy tại (0;0)
+) Cắt trục Ox tại các điểm (0;0),(±√2;0)
LG b
Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại hai điểm phân biệt nếu và chỉ nếu hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và yCT=0.
Lời giải chi tiết:
Để (Cm) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại và yCT=0.
Ta có: y′=4x3−4mx=4x(x2−m); y′=0⇔[x=0x2=m.
Để hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại thì phương trình x2=m có hai nghiệm phân biệt khác 0
+) Nếu m ≤ 0 thì x2 – m ≥ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.
+) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x = √m hoặc x = -√m.
Khi đó hàm số có hai điểm cực tiểu là x=√m và x=−√m;
⇒yCT=f(±√m) =m2−2m2+m3−m2=m3−2m2
yCT=0⇔m3−2m2=0 ⇔[m=0(KTM)m=2(TM).
Vậy m=2 là giá trị cần tìm.
