Đề bài
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,BC = b,AA' = c\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(A'B'\) và \(B'C'\). Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp \(D'.DMN\) và thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
- Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Từ đó suy ra tỉ số.
Lời giải chi tiết
Thể tích khối chóp \(D'.DMN\) bằng thể tích khối chóp \(D.D'MN\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_{A'B'C'D'}} = A'B'.B'C'={ab}\\
{S_{D'A'M}} = \frac{1}{2}A'D.A'M = \frac{1}{2}.b.\frac{a}{2} = \frac{{ab}}{4}\\
{S_{B'MN}} = \frac{1}{2}B'M.B'N = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{b}{2} = \frac{{ab}}{8}\\
{S_{D'C'N}} = \frac{1}{2}C'D'.C'N = \frac{1}{2}.a.\frac{b}{2} = \frac{{ab}}{4}
\end{array}\)
\({S_{D'MN}} = {S_{A'B'C'D'}} - \left( {{S_{D'A'M}} + {S_{B'MN}} + {S_{D'C'N}}} \right)\)\( = ab - \left( {\dfrac{{ab}}{4} + \dfrac{{ab}}{8} + \dfrac{{ab}}{4}} \right) = \dfrac{{3ab}}{8}\)
Thể tích khối chóp \({V_{D'.DMN}} = \frac{1}{3}{S_{D'MN}}.DD'\) \(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3ab}}{8}.c = \dfrac{{abc}}{8}\).
Lại có \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\) \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{D'.DMN}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{1}{8}\).
