Giải bài 1.15 trang 19 SBT hình học 12

149 lượt xem

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,BC = b,AA' = c$ . Gọi $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điểm của $A'B'$ và $B'C'$ . Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp $D'.DMN$ và thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$ .

- Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Từ đó suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Thể tích khối chóp $D'.DMN$ bằng thể tích khối chóp $D.D'MN$

Ta có:

$\begin{array}{l} {S_{A'B'C'D'}} = A'B'.B'C'={ab}\\ {S_{D'A'M}} = \frac{1}{2}A'D.A'M = \frac{1}{2}.b.\frac{a}{2} = \frac{{ab}}{4}\\ {S_{B'MN}} = \frac{1}{2}B'M.B'N = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{b}{2} = \frac{{ab}}{8}\\ {S_{D'C'N}} = \frac{1}{2}C'D'.C'N = \frac{1}{2}.a.\frac{b}{2} = \frac{{ab}}{4} \end{array}$

${S_{D'MN}} = {S_{A'B'C'D'}} - \left( {{S_{D'A'M}} + {S_{B'MN}} + {S_{D'C'N}}} \right)$ $= ab - \left( {\dfrac{{ab}}{4} + \dfrac{{ab}}{8} + \dfrac{{ab}}{4}} \right) = \dfrac{{3ab}}{8}$

Thể tích khối chóp ${V_{D'.DMN}} = \frac{1}{3}{S_{D'MN}}.DD'$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3ab}}{8}.c = \dfrac{{abc}}{8}$ .

Lại có ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc$ $\Rightarrow \dfrac{{{V_{D'.DMN}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \dfrac{1}{8}$ .

SBT Toán lớp 12