Đề bài
Trong không gian Oxyz cho một vecto →a tùy ý khác vecto →0. Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị →i,→j,→k trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto →a. Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng véc tơ đơn vị →a0 cùng hướng với vecto →a
- Dựng điểm A0 sao cho →OA0=→a0 và các điểm A1,A2,A3 lần lượt là hình chiếu của A0 lên các trục tọa độ.
- Tính cosα,cosβ,cosγ và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi →a0 là vecto đơn vị cùng hướng với vecto →a, ta có →a0=1|→a|→a.
Gọi →OA0=→a0 và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có: |→OA1||→OA0|=cosα,|→OA2||→OA0|=cosβ,|→OA3||→OA0|=cosγ
Vì |→OA0|=1 nên |→OA1|=cosα,|→OA2|=cosβ,|→OA3|=cosγ
Ta có →OA0=→OA1+→OA2+→OA3 , ta suy ra: →OA0=cosα→i+cosβ→j+cosγ→k hay →OA0=(cosα;cosβ;cosγ).
Vì →OA0=→a0 mà |→a0|=1 nên ta có: cos2α+cos2β+cos2γ=1
