Đề bài
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC lần lượt tại M,N. Biết rằng SA=AC=5, AB=3,BC=4. Thể tích khối chóp S.AMN bằng
A. 12568 B. 12534
C. 17534 D. 12517
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính tỉ số diện tích hai tam giác SMN và SBC.
- Từ đó suy ra tỉ số thể tích khối chóp S.AMN so với S.ABC.
- Tính VS.ABC và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: SC⊥(AMN)⇒{SC⊥AMSC⊥MN.
Tam giác ABC có:
AC2=52=25
AB2+BC2=32+42=25
nên AC2=AB2+BC2 hay tam giác ABC vuông tại B.
Suy ra AB⊥BC, mà SA⊥BC nên BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB.
Xét tam giác SMN và SCB có: ^SNM=^SBC=900 và chung góc S
⇒ΔSMN∽ \Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}
Tam giác SAC vuông cân tại A có AN \bot SC \Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}.
Tam giác SAB có SA = 5,AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34}
\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{68}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}.
Mà {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.5.\dfrac{1}{2}.3.4 = 10 nên {V_{S.AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}.10 = \dfrac{{125}}{{34}}.
Chọn B.
