Giải bài 3.4 trang 164 SBT giải tích 12

130 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

LG câu a

a) $\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx$ với $x > - 1$ (đặt $t = 1 + {x^3}$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = 1 + {x^3}$ $\Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}$ .

Khi đó $\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}}$ $= \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C$ $= \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C$

LG câu b

b) $\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx$ (đặt $t = {x^2}$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx$ $\Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}$

Khi đó $\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}}$ $= - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C = - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C$ .

LG câu c

c) $\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx$ (đặt $t = 1 + {x^2}$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = 1 + {x^2}$ $\Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}$ .

Khi đó, $\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}}$ $= - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C = - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C$

LG câu d

d) $\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx$ (đặt $t = \sqrt x$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx$ $\Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt$ và $x = {t^2}$ .

Khi đó $\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx$ $= \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}.2dt} = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt}$ $= \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt}$

$= - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C$ $= \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C$ $= \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C$ .

LG câu e

e) $\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx$ (đặt $t = \dfrac{1}{x}$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \dfrac{1}{x}$ $\Rightarrow dt = - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} = - dt$ .

Khi đó $\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx$ $= \int {\sin t.\left( { - dt} \right)} = \int {\left( { - \sin t} \right)dt}$ $= \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C$

LG câu g

g) $\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx$ (đặt $t = \ln x$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \ln x$ $\Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}$ . Khi đó

$\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}.dt}$ $= \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C$

LG câu h

h) $\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx$ (đặt $t = \cos x$ )

Phương pháp giải:

Đặt $t = u\left( x \right)$ , tính $dx$ theo $dt$ thay vào nguyên hàm cần tính.

Giải chi tiết:

Đặt $t = \cos x$ $\Rightarrow dt = - \sin xdx$ .

Khi đó $\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx$ $= \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}} = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt}$ $= - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C = - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C$ $= - 3\sqrt[3]{t} + C = - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C$ .

SBT Toán lớp 12