Câu 1
Cho H là hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Xét các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SBD), (ABC), (SOI), trong đó I là trung điểm của AB, O là tâm hình vuông ABCD. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?
(A) 1 ; (B) 2 ;
(C) 3 ; (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Có 3 mặt phẳng đối xứng của H, đó là: mp(SAC), mp(SBD), mp(SOI).
Chọn (C).
Câu 2
Gọi H là lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’. Xét các mặt: mp(AA’D), mp(ACA’), mp(ABB’), mặt phẳng trung trực của DD’, mặt phẳng trung trực của AB. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?
(A) 1 ; (B) 2 ;
(C) 3 ; (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Có 3 mặt phẳng đối xứng của H, đó là mp(AA’D), mặt phẳng trung trực của DD’, mặt phẳng trung trực của AB.
Chọn (C).
Câu 3
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, M là trung điểm của cạnh AB. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?
(A) \({V_{A'B'C'C}} = {V_{MA'B'C'}}\,;\)
(B) \({V_{ABCC'}} = {V_{A'BCC'}}\,;\)
(C) \({V_{MA'B'C'}} = {V_{A'ABC}}\,;\)
(D) \({V_{MA'B'C'}} = {1 \over 2}{V_{AA'B'C'}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: AM // (A’B’C’) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {A'B'C'} \right)} \right)\)
\(\eqalign{
& {V_{MA'B'C'}} = {1 \over 3}d\left( {M;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} \cr
& {V_{A.A'B'C'}} = {1 \over 3}d\left( {A;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} \cr
& \Rightarrow {V_{MA'B'C'}} = {V_{A.A'B'C'}}. \cr} \)
Chọn (D).
Câu 4
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?
(A) \({V_{A'BCC'}} = {1 \over 3}{V_{ABC.A'B'C'}}\,;\)
(B) \({V_{A.BB'C'C}} = {1 \over 2}{V_{ABC.A'B'C'}}\,;\)
(C) \({V_{A'.BCC'B'}} = 2{V_{AA'BC}}\,;\)
(D) \({V_{C.ABB'A'}} = {V_{C'.ABB'A'}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({V_{A.A'B'C'}} = {1 \over 3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) \( \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}} = {2 \over 3}{V_{ABC.A'B'C'}}.\)
Chọn (B).
Câu 5
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD và các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt nằm trên các đường thẳng SA, SB, SC, SD nhưng không trùng với S.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
(A) \({{{V_{S.ABC}}} \over {{V_{S.A'B'C'}}}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\,;\)
(B) \({{{V_{S.ABCD}}} \over {{V_{S.A'B'C'D'}}}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}.{{SD} \over {SD'}}\,;\)
(C) \({{{V_{S.ABCD}}} \over {{V_{S.A'B'C'D'}}}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SC} \over {SC'}} + {{SB} \over {SB'}}.{{SD} \over {SD'}}\,;\)
(D) \({{{V_{S.ABCD}}} \over {{V_{S.A'B'C'D'}}}} = {{SA} \over {SA'}} + {{SB} \over {SB'}} + {{SC} \over {SC'}} + {{SD} \over {SD'}}\,.\)
Lời giải chi tiết:
Mệnh đề (A): \({{{V_{S.ABC}}} \over {{V_{S.A'B'C'}}}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\,;\)
Chọn (A).
Câu 6
Trong các mênh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
(A) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp;
(B) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu tất cả các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp ;
(C) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu có mặt bên vuông góc với mặt đáy ;
(D) Đa diện nội tiếp một mặt cầu nếu các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp.
Lời giải chi tiết:
Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu tất cả các mặt của nó là đa giác nội tiếp.
Chọn (B).
Câu 7
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
(A) Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằm hoàn toàn trên mặt cầu ;
(B) Có duy nhất một mặt cầu đi qua 4 đỉnh của một hình thang cân cho trước ;
(C) Hình chóp có đáy là hình thang vuông luôn luôn nội tiếp một mặt cầu ;
(D) Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằm hoàn toàn trên mặt cầu.
Chọn (A).
Câu 8
Cho khối trụ có bán kính \(a\sqrt 3 \) và chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của nó là:
(A) \(4\pi {a^3}\sqrt 2 \,;\) (B) \(9{a^3}\sqrt 3 \,\,;\)
(C) \(6\pi {a^3}\sqrt 3 \,;\) (D) \(6\pi {a^2}\sqrt 3 .\)
Lời giải chi tiết:
\({V_{tru}} = {S_d}.h \) \( = \pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}2a\sqrt 3 = 6\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Chọn (C).
Câu 9
Đáy của một hình chóp là hình vuông có diện tích bằng 4. Các mặt bên của nó là những tam giác đều. Diện tích toàn phần của hình chóp là
(A) \(4 + 4\sqrt 3\) (B) 8
(C) 16 (D) \(4 + 4\sqrt 2\)
Lời giải chi tiết:
Cạnh hình vuông đáy là a = 2. Mặt bên là tam giác đều cạnh a nên có diện tích mặt bên là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = \sqrt 3 .\)
Vậy \({S_{tp}} = {S_d} + 4S = 4 + 4\sqrt 3 .\)
Chọn (A).
Câu 10
Một hình nón có đường sinh bằng l và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình nón là:
(A) \({1 \over 3}\)l (B) \({{\sqrt 3 } \over 6}\)l
(C) \({{\sqrt 2 } \over 6}\)l (D) \({3 \over 4}\)l.
Lời giải chi tiết:
\(\Delta SAB\) là tam giác đều cạnh l.
Đường cao \(SO = l{{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là: \(r = {1 \over 3}SO = {{l\sqrt 3 } \over 6}.\)
Chọn (B).
Câu 11
Một hình cầu có thể tích bằng \({{4\pi } \over 3}\), nội tiếp một hình lập phương. Thể tích của hình lập phương đó bằng
(A) 8 ; (B) \(4\pi \);
(C) 1 ; (D) \(2\pi \sqrt 3 \).
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {{4\pi } \over 3} \Rightarrow R = 1.\)
Hình lập phương ngoại tiếp hình cầu bán kính R có cạnh a = 2R = 2.
Vậy thể tích của hình lập phương đó là \({a^3} = 8.\)
Chọn (A).
Câu 12
Cho hình chữ nhật có hai đỉnh \(A\left( { - 2;3;0} \right),B\left( {2;3;0} \right)\) và một cạnh nằm trên trục Ox. Khối tròn xoay sinh bởi hình chữ nhật đó khi quay quanh trục Oy có thể tích là:
(A) \(6{\pi ^2};\) (B) 12 ;
(C) \(12\pi \,;\) (D) \({{4\pi } \over 3}.\)
Lời giải chi tiết:
Hình chữ nhật ABCD trong đó C(2; 0; 0), D(-2; 0; 0).
Khối tròn xoay sinh bởi hình chữ nhật ABCD khi quay quanh trục Oy là khối trụ có bán kính đường tròn đáy là R = 2, chiều cao h = 3 nên có thể tích là \(V = \pi {R^2}h = 12\pi .\)
Chọn (C).
Câu 13
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {0; - 1;1} \right)\). Trong các vectơ sau, vectơ nào cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\,?\)
(A) \(\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)\,;\)
(B) \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;1} \right)\,;\)
(C) \(\overrightarrow c = \left( {0;1; - 1} \right)\,;\)
(D) \(\overrightarrow d = \left( {2;2; - 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\\
= \left( {\left| \begin{array}{l}
0\,\,\,\,\,2\\
- 1\,\,\,1
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
2\,\,\,\,1\\
1\,\,\,\,\,0
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
1\,\,\,\,\,\,0\\
0\,\,\, - 1
\end{array} \right|} \right)\\
= \left( {2; - 1; - 1} \right) = - \overrightarrow b
\end{array}\)
Chọn (B).
Câu 14
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 6 nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 5 = 0.\) Thể tích hình chóp S.ABC với \(S = \left( {1;1;1} \right)\) bằng:
(A) \(3\sqrt 6 ;\) (B) \(12\sqrt 2 \);
(C) 8 ; (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách h từ S đến \(mp\left( \alpha \right)\) chính là chiều cao SH của hình chóp S.ABC.
Ta có: \(h = SH = {{\left| {2.1 - 2.1 + 1 + 5} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {(-2)^2} + {1^2}} }} = {6 \over 3} = 2.\)
Thể tích hình chóp S.ABC là \(V = {1 \over 3}.6.2 = 4.\)
Chọn (D).
Câu 15
Mặt cầu tâm I(6; 3; -4) tiếp xúc với trục Ox có bán kính là:
(A) 5; (B) \(2\sqrt 3 \);
(C) \(4\sqrt 3 ;\) (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của I(6; 3; -4) lên trục Ox là điểm I’(6; 0; 0). Bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Ox là
R = II’ = \(\sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.\)
Chọn (A)
Câu 16
Cho hai đường thẳng d có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 3 + t. \hfill \cr} \right.\)
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 3 + t. \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = 1 - 2t \hfill \cr
z = 4 + 2t\,; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 + t\,; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 3 - t. \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
d đi qua điểm A(1; 2; 3) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right).\)
Đường thẳng có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = 1 - 2t \hfill \cr
z = 4 + 2t \hfill \cr} \right.\) cũng đi qua A(1; 2; 3) (ứng với \(t = - {1 \over 2}\)) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {4; - 2;2} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \).
Chọn (B).
Câu 17
Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) và
\(d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t'\\
y = - 1 + 2t'\\
z = 2 - 2t
\end{array} \right.\)
Khi đó:
(A) d cắt d’
(B) d trùng d’ ;
(C) d và d’ chéo nhau ;
(D) d song song với d’.
Lời giải chi tiết:
d đi qua A(1; 2; 3) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).
d’ đi qua B(1; -1; 2) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {2;2; - 2} \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {u'} \).
\(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương nên d // d’.
Chọn (D).
Câu 18
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( P \right):3x + 4z + 12 = 0\,;\) \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1.\)
Khi đó:
(A) mp(P) đi qua tâm cầu (S) ;
(B) mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S);
(C) mp(P) cắt (S) theo một đường tròn;
(D) mp(P) không cắt (S).
Lời giải chi tiết:
(S) có tâm I(0; 0; 2) bán kính R = 1.
Khoảng cách từ I đến mp(P) là \(d = {{\left| {4.2 + 12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}} }} = 4 > 1.\)
Vậy mp(P) không cắt (S).
Chọn (D).
Câu 19
Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 0; 1) trên đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 2} \over 1}\) là:
(A) (1; 0; 2) ; (B) (2; 2; 3) ;
(C) (0; -2 ; 1) ; (D) (-1; 4; 0).
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right..\)
Lấy \(N\left( {1 + t,2t,2 + t} \right) \in \Delta ,\) \(\overrightarrow {MN} = \left( {t - 1,2t,t + 1} \right).\)
N là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow u \) (với \(\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \) \(\Leftrightarrow t - 1 + 4t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)
Vậy N(1; 0; 2).
Chọn (A).
Câu 20
Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 2} \over { - 1}} = {{y + 2} \over 1} = {{z - 3} \over 1}.\) Khoảng cách giữa d và d’ là:
(A) \({{\sqrt 6 } \over 2};\) (B) \({{\sqrt {14} } \over 2};\)
(C) \({1 \over {\sqrt 6 }};\) (D) \(\sqrt 2 \).
Lời giải chi tiết:
d đi qua A(1; -1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;0} \right)\).
d’ đi qua điểm B(2; -2; 3) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;1;1} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right).\)
Khoảng cách giữa d và d’ là: \({{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{\sqrt 6 } \over 2}.\)
Chọn (A).
Câu 21
Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = - 5 + t \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\)
Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + t; \hfill \cr} \right.\)
(C) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z - 2} \over 2};\)
(D) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)
Lời giải chi tiết:
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\); d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {0; - 2;3} \right).\)
Lấy \(M\left( {1 + t,0, - 5 + t} \right) \in d\) và \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in d'.\)
\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1 - t,4 - 2t',10 + 3t' - t} \right).\)
MN là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 1 - t + 10 + 3t' - t = 0 \hfill \cr
- 8 + 4t' + 30 + 9t' - 3t = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3t' - 2t = - 9 \hfill \cr
13t' - 3t = - 22 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 3 \hfill \cr
t' = - 1 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(M\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right).\)
Vậy \(MN:{{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)
Chọn (D).
Câu 22
Cho mặt phẳng (P): \(mx + y + \left( {n - 2} \right)z + m + 2 = 0.\) Với mọi m,n , mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ là:
(A) (1; 2; 0) (B) (2; 1; 0);
(C) (0; 1; -2); (D) (-1; -2; 0).
Lời giải chi tiết:
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào (P) ta được \(\left( { - 1; - 2;0} \right) \in \left( P \right).\)
Chọn (D).
Câu 23
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0.\) Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A(3; 4; 3) có phương trình:
(A) \(4x + 4y - 2z - 17 = 0;\)
(B) \(2x + 2y + z - 17 = 0;\)
(C) \(2x + 4y + z - 17 = 0;\)
(D) \(x + y + z - 17 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 2), bán kính R = 3; \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y + z - 17 = 0.\)
Chọn (B).
