Giải bất phương trình:
\(\eqalign{
& a)\,{\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\,; \cr
& b)\,{\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0. \cr} \)
LG a
\({\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\)
Phương pháp giải:
Nếu 0 < a < 1 thì:
\({\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& {\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\cr&\Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\,\,\, \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 2 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < - 2\,\,\text { hoặc }\,\,x > 1 \hfill \cr
- \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \sqrt 5 < x < - 2\\
1 < x < \sqrt 5
\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right) \cup \left( {1;\sqrt 5 } \right)\)
Cách trình bày khác:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x - 2 > 0\\
x + 3 > 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < -2
\end{array} \right.\\
x > - 3
\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
- 3 < x < - 2
\end{array} \right.\)
Khi đó,
\(\begin{array}{l}
{\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < x + 3\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5 < 0\\
\Leftrightarrow - \sqrt 5 < x < \sqrt 5
\end{array}\)
Kết hợp với (*) ta được
\(\left[ \begin{array}{l}
1 < x < \sqrt 5 \\
- \sqrt 5 < x < - 2
\end{array} \right.\)
LG b
\({\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0\)
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
2 - x > 0\\
{x^2} - 6x + 5 > 0
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 5\\
x < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x < 1\)
Khi đó,
\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge - {\log _3}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge {\log _{{1 \over 3}}}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {\left( {2 - x} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {x^2} - 4x + 4\cr&\Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp ĐK ta được \({1 \over 2} \le x < 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {{1 \over 2};1} \right)\)
