Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình:
d:x−22=y+13=z−15 (α):2x+y+z−8=0.
LG a
Tìm góc giữa d và (α).
Phương pháp giải:
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: sinφ=|→u.→n||→u||→n|
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương →u=(2;3;5), mp(α) có vectơ pháp tuyến →n=(2;1;1).
Gọi φ là góc giữa d và (α) thì 0≤φ≤900 và
sinφ=|→u.→n||→u||→n| =|2.2+3.1+5.1|√4+9+25.√4+1+1=6√57.
LG b
Tìm tọa độ giao điểm của d và (α).
Phương pháp giải:
Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Lời giải chi tiết:
d có phương trình tham số
{x=2+2ty=−1+3tz=1+5t.
Thay x, y, z vào phương trình (α) ta có:
2(2+2t)+(−1+3t)+(1+5t)=0 ⇔t=13
Ta được giao điểm M(83;0;83).
LG c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α).
Lời giải chi tiết:
Gọi (β) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (α) thì hình chiếu d’ của d trên (α) là giao tuyến của (α) và (β).
Vectơ pháp tuyến →n(β) của (β) vuông góc với cả →u và →n nên ta chọn →nβ=[→u,→n]=(−2;8;−4).
Ngoài ra, (β) đi qua d nên cũng đi qua điểm A(2;−1;1).
Do đó (β) có phương trình:
−2(x−2)+8(y+1)−4(z−1)=0 ⇔−x+4y−2z+8=0.
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:
→a=[→nα;→nβ] =(|114−2|;|12−2−1|;|21−14|) =(−6;3;9)=3(−2;1;3)
Vậy d’ có phương trình tham số là
{x=83−2ty=tz=83+3t
