Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).
LG a
Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
Phương pháp giải:
Chứng minh →AB,→AC,→AD không đồng phẳng hay [→AB,→AC].→AD≠0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
→AB=(−1;1;0),→AC=(−1;0;1),→AD=(−3;1;−2)[→AB,→AC]=(|1001|;|0−11−1|;|−11−10|)=(1;1;1)⇒[→AB,→AC].→AD=1.(−3)+1.1+1.(−2)=−4≠0
Do đó ba vectơ →AB,→AC,→AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
LG b
Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ cos(→u,→v)=→u.→v|→u|.|→v|
Lời giải chi tiết:
Ta có →CD=(−2;1;−3),→BD=(−2;0;−2), →BC=(0;−1;1).
Gọi α,β,γ lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
cosα=|cos(→AB,→CD)|=|2+1+0|√2.√14=3√714cosβ=|cos(→AC,→BD)|=|2+0−2|√2.√8=0⇒AC⊥BDcosγ=|cos(→AD,→BC)|=|0−1−2|√2.√14=3√714
LG c
Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Phương pháp giải:
Tính thể tích theo công thức V=16|[→AB,→AC].→AD|
Lời giải chi tiết:
Thể tích tứ diện ABCD là: V=16|[→AB,→AC].→AD| =16|−4|=23
Gọi hA là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
V=13hA.SBCD⇒hA=3VSBCDSBCD=12|[→BC,→BD]|=√3
Vậy hA=3.23√3=2√33
