Bài 22 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

151 lượt xem

Đề bài

Tìm giá trị của $m$ để hàm số $f\left( x \right) = {{{x^2} + mx - 1} \over {x - 1}}$ có cực đại và cực tiểu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Tìm tập xác định D và tính f'(x)

B2: Nhận xét: Hàm f có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow f'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trên D

B3: Biện luận tìm m và KL

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}$

$f'\left( x \right) = {{({x^2} + mx - 1)'.(x-1) -({x^2} + mx - 1).(x-1)'}\over {(x-1)^2}} ={{\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + mx - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0$ $\Leftrightarrow g(x)= {x^2} - 2x + 1 - m = 0 ( x\ne 1) (1)$

Hàm số $f$ có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $1$ , tức là

$\left\{ \matrix{ \Delta '_{ (1)} > 0 \hfill \cr g(1) \ne 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \Delta ' = 1-(1-m) > 0 \hfill \cr {1^2} - 2.1 + 1 - m \ne 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m \ne 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m > 0$ .

Vậy $m>0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ có cực đại và cực tiểu.

SGK Toán 12 Nâng cao