Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
LG a
y=x−23x+2
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖{−23}
Vì limx→+∞y=limx→+∞x+23x+2=limx→+∞1−2x3+2x=13 và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {1 \over 3} nên đường thẳng y = {1 \over 3} là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ + }} y = - \infty \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ - }} y = + \infty ; nên đường thẳng x = - {2 \over 3} là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG b
y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = - 2 và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2 nên đường thẳng y = - 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y = - \infty nên đường thẳng x = - 3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG c
y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = + \infty nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0 nên đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị.
LG d
y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}
Phương pháp giải:
Đường thẳng y=ax+b (a\ne 0) là TCX của đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]
hoặc a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y = - \infty nên đường thẳng x = - {1 \over 2} là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng y = ax + b
\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty
Đường thẳng y = {x \over 2} - {7 \over 4} là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x \to + \infty và x \to - \infty ).
Cách khác:
Ta có: y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0 nên đường thẳng y = {x \over 2} - {7 \over 4} là tiệm cận xiên của đồ thị.
LG e
y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}
* Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = - \infty nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = + \infty nên đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
LG f
y = {x \over {{x^3} + 1}}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}
* Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang
* \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty nên x = -1 là tiệm cận đứng.
