Cho hàm số: y=x4−2mx2+2m
LG a
Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R
y=4x3−4mx=4x(x2−m)
y′=0⇔[x=0x2=m
Nếu m>0 thì y′=0 ⇔x=0 hoặc x=−√m hoặc x=√m
Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu m≤0 thì x2−m≥0 với mọi x∈R
Hàm số có 1 cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m>0.
Chú ý:
Có thể trình bày ngắn gọn như sau:
Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔{m≠0m>0⇔m>0
Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
LG b
Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.
Lời giải chi tiết:
Với m=12 ta có y=x4−x2+1
TXĐ: D=R
lim
y\left( 0 \right) = 1 và y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) và \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \left( { - \infty ; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) và \left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và {y_{CD}} = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2} và {y_{CT}} = \frac{3}{4}
y'' = 12{x^2} - 2
y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) = {{31} \over {36}}
Xét dấu y”
Đồ thị có hai điểm uốn: {I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right) và {I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)
Điểm đặc biệt: x = \pm 1 \Rightarrow y = 1
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ta có: y'\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}
Do đó phương trình tiếp tuyến tại {I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right) là y - {{31} \over {36}} = y'\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x + {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)
\Leftrightarrow y = {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}
Lại có y'\left( { \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( { \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( { \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = -\frac{4}{{3\sqrt 6 }}
Do đó phương trình tiếp tuyến tại {I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right) là: y - {{31} \over {36}} = y'\left( { {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) \Leftrightarrow y = - {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}
