Chứng minh rằng:
LG a
Hàm số \(y = {{x - 2} \over {x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {x - 2} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{1.\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right).1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{ 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2
\end{array}\)
Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
LG b
Hàm số \(y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(y' = \frac{{\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(= {{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \)
\(= {{ - {x^2} - 2x - 5} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{ - {{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}< 0\) với mọi \(x \ne - 1\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
