Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A,B,C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.
LG a
Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.
Vì A′ cách đều ba đỉnh A,B,C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O⊥mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó ^A′AO=600
Trong tam giác vuông A′OA ta có: tan600=A′OAO ⇒A′O=AO.tan600 =23.a√32.√3=a
Vậy thể tích khối lăng trụ là V=B.h=SABC.A′O =a2√34.a=a3√34
LG b
Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
Vì BC⊥AO và BC⊥A′O
⇒BC⊥(AOA′) ⇒BC⊥AA′ hay BC⊥BB′ .
Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.
LG c
Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C′ (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có AB⊥(A′HO)⇒A′H⊥AB.
Trong tam giác vuông A′OH, ta có:
A′H2=A′O2+OH2 =a2+(a√36)2=13a212
⇒A′H=a√132√3
Diện tích hình bình hành ABB′A′ : SABB′A′=AB.AH=a2√132√3
Tương tự SACC′A′=a2√132√3
Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là: SBCC′B′=BB′.BC=AA′.BC =AOcos600.a=2a2√33
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:
Sxq=2SAA′B′B+SBCC′B′ =a2√13√3+2a2√33 =a2√33(√13+2)
