Cho hai điểm A(1;−1;−2);B(3;1;1) và mặt phẳng (P): x−2y+3z−5=0.
LG a
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).
Lời giải chi tiết:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).
Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là →n=(1;−2;3) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình {x=1+ty=−1−2tz=−2+3t
+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)
Tọa độ của H là nghiệm của hệ
{x=1+ty=−1−2tz=−2+3tx−2y+3z−5=0 ⇔{x=1+ty=−1−2tz=−2+3t1+t−2(−1−2t)+3(−2+3t)−5=0
⇔{x=1+ty=−1−2tz=−2+3t−8+14t=0⇔{t=47x=117y=−157z=−27 ⇒H(117;−157;−27)
+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:
{xA+xA′=2xHyA+yA′=2yHzA+zA′=2zH ⇔{1+xA′=227−1+yA′=−307−2+zA′=−47 ⇔{xA′=157yA′=−237zA′=107
Cách khác:
Điểm A′(x0;y0;z0) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi:
+) →AA′=(x0−1,y0+1,z0+2) là một vectơ pháp tuyến của (P)
+) Trung điểm I(x0+12;y0−12;z0−22) của AA’ nằm trên (P).
(P) có VTPT →n=(1;−2;3) ⇒→AA′ cùng phương →n
⇔x0−11=y0+1−2=z0+23=t ⇔{x0=1+ty0=−1−2tz0=−2+3t
Lại có I∈(P) nên x0+12−2.y0−12+3.z0−22−5=0
⇔2+t2−(−2−2t)+3.−4+3t2−5=0
⇔2+t+4+4t−12+9t−10=0⇔14t−16=0⇔t=87⇒{x0=157y0=−237z0=107
Vậy A′(157;−237;107)
LG b
Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).
Lời giải chi tiết:
Ta có →AB=(2;2;3); mp(P) có vectơ pháp tuyến →n(P)=(1;−2;3).
Gọi φ là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có 0≤φ≤900 và sinφ=|→AB.→n(P)||→AB.|→n(P)||=|2−4+9|√17.14=7√238.
LG c
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).
Lời giải chi tiết:
Gọi →n(Q) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì →n(Q) ⊥ →AB; →n(Q) ⊥ →n(P) nên chọn
→n(Q)=[→AB;→n(P)]=(12;−3;−6)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
12(x−1)−3(y+1)−6(z+2)=0 ⇔4x−y−2z−9=0.
LG d
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình
{x=1+2ty=−1+2tz=−2+3tx−2y+3z−5=0⇒1+2t−2(−1+2t)+3(−2+3t)−5=0⇒t=87
Vậy I(237;97;107).
Gọi →u và vectơ chỉ phương của Δ thì →u ⊥ →n(P); →u⊥→AB nên chọn
→u=[→n(P);→AB] =(−12;3;6)=−3(4;−1;−2).
Vậy Δ có phương trình tham số là
{x=237+4ty=97−tz=107−2t
