Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

127 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

$f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int {{x^2}\cos 2xdx}$ $= {1 \over 2}{x^2}\sin 2x - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)}$

Tính $\int {x\sin 2xdx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \int {x\sin 2xdx }$ $= - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx }$ $= - \dfrac{1}{2}x\cos 2x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 2x}}{2} + {C_1}$ $= - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C_1$

Thay vào (1) ta được $\int {{x^2}\cos 2xdx }$

$= \dfrac{1}{2}{x^2}\sin 2x$ $- \left( { - \dfrac{1}{2}x\cos 2x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + {C_1}} \right)$

$= {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 4}\sin 2x + C$

LG b

$f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \int {\sqrt x \ln xdx}$ $= \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \int {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}.\dfrac{1}{x}dx}$ $= \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}\int {{x^{\dfrac{1}{2}}}dx}$ $= \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^{\dfrac{1}{2} + 1}}}}{{\dfrac{1}{2} + 1}} + C$ $= \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C$ $= \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} + C$ $= \dfrac{2}{3}x\sqrt x \ln x - \dfrac{4}{9}x\sqrt x + C$

LG c

$f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx$

$\int {{{\sin }^4}x\cos xdx} = \int {{u^4}du}$ $= \dfrac{{{u^5}}}{5} + C = \dfrac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C$

LG d

$f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du$

$\Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx}$ $= {1 \over 2}\int {\cos udu}$ $= {1 \over 2}\sin u + C$ $= {1 \over 2}\sin (x^2) + C.$

SGK Toán 12 Nâng cao