Chứng minh các bất đẳng thức sau:
LG a
\(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\);
Phương pháp giải:
Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 \) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Vì \(0 < {\cos ^2}x < 1\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\) \( \Rightarrow f'(x) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)=0,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
LG b
\(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2\) \(= {\tan ^2}x - {x^2} \) \( = \left( {\tan x - x} \right)\left( {\tan x + x} \right)\)
Ta có:
+) \(\tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (câu a)
+) \(\tan x + x > 0, \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) vì trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\tan x\) và \(x\) đều dương.
Do đó \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Nên hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và khi đó
\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right) \)
\(\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
