LG a
Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Tính tổng, tích các nghiệm dựa vào công thức nghiệm z1,2=−B±δ2A
Lời giải chi tiết:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2+Bz+C=0 là
z1,2=−B±δ2A(δ2=B2−4AC)
Do đó:
z1+z2=−B+δ2A+−B−δ2A =−2B2A=−BA
z1z2=−B+δ2A.−B−δ2A =(−B)2−δ24A2 =B2−(B2−4AC)4A2 =4AC4A2=CA
Do đó
{z1+z2=−BAz1z2=CA
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
LG b
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)
Phương pháp giải:
Giả sử {z_1} + {z_2} = \alpha ; {z_1}{z_2} = \beta .
Chứng minh {z_1},{z_2} là hai nghiệm phương trình: {z^2} - \alpha z + \beta = 0
Lời giải chi tiết:
Giả sử {z_1} + {z_2} = \alpha ; {z_1}{z_2} = \beta
{z_1},{z_2} là hai nghiệm phương trình:
\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta = 0
Theo đề bài {z_1} + {z_2} = 4 - i; {z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,
nên {z_1},{z_2} là hai nghiệm phương trình
{z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0 (*)
\Delta = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right) = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i = - 5 + 12i
Giả sử {\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 5 \hfill \cr 2xy = 12 \hfill \cr} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} = - 5 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.
Vậy \Delta có hai căn bậc hai là \pm \left( {2 + 3i} \right).
Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:
{z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i
{z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i
LG c
Có phải mọi phương trình bậc hai {z^2} + Bz + C = 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Nếu phương trình {z^2} + Bz + C = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là hai số phức liên hợp, {z_2} = \overline {{z_1}} , thì theo công thức Vi-ét:
\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - B\\{z_1}{z_2} = C\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + \overline {{z_1}} = - B\\{z_1}.\overline {{z_1}} = C\end{array} \right.
Mà {z_1} = x + yi \Rightarrow \overline {{z_1}} = x - yi
\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + \overline {{z_1}} = 2x \in \mathbb{R}\\{z_1}.\overline {{z_1}} = {x^2} + {y^2} \in \mathbb{R}\end{array}
Do đó B, C thực.
Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì \Delta = {B^2} - 4AC > 0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi \Delta \le 0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).
Ví dụ: Phương trình z^2+2z-3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3.
