LG a
Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Tính tổng, tích các nghiệm dựa vào công thức nghiệm z1,2=−B±δ2A
Lời giải chi tiết:
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2+Bz+C=0 là
z1,2=−B±δ2A(δ2=B2−4AC)
Do đó:
z1+z2=−B+δ2A+−B−δ2A =−2B2A=−BA
z1z2=−B+δ2A.−B−δ2A =(−B)2−δ24A2 =B2−(B2−4AC)4A2 =4AC4A2=CA
Do đó
{z1+z2=−BAz1z2=CA
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
LG b
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4–i và tích của chúng bằng 5(1–i)
Phương pháp giải:
Giả sử z1+z2=α; z1z2=β.
Chứng minh z1,z2 là hai nghiệm phương trình: z2−αz+β=0
Lời giải chi tiết:
Giả sử z1+z2=α; z1z2=β
z1,z2 là hai nghiệm phương trình:
(z−z1)(z−z2)=0 ⇔z2−(z1+z2)z+z1z2=0 ⇔z2−αz+β=0
Theo đề bài z1+z2=4−i; z1z2=5(1−i)
nên z1,z2 là hai nghiệm phương trình
z2−(4−i)z+5(1−i)=0 (*)
Δ=(4−i)2−20(1−i) =16−1−8i−20+20i=−5+12i
Giả sử (x+yi)2=−5+12i ⇔{x2−y2=−52xy=12
⇔{x2−36x2=−5y=6x ⇔{x4+5x2−36=0y=6x
⇔{x=2y=3 hoặc {x=−2y=−3
Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2+3i).
Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:
z1=12[4−i+(2+3i)]=3+i
z2=12[4−i−(2+3i)]=1−2i
LG c
Có phải mọi phương trình bậc hai z2+Bz+C=0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Nếu phương trình z2+Bz+C=0 có hai nghiệm z1,z2 là hai số phức liên hợp, z2=¯z1, thì theo công thức Vi-ét:
{z1+z2=−Bz1z2=C⇒{z1+¯z1=−Bz1.¯z1=C
Mà z1=x+yi⇒¯z1=x−yi
⇒z1+¯z1=2x∈Rz1.¯z1=x2+y2∈R
Do đó B, C thực.
Điều ngược lại không đúng vì nếu B,C thực thì Δ=B2−4AC>0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi Δ≤0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).
Ví dụ: Phương trình z2+2z−3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3.
