Đề bài
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;−1;1) và cắt cả hai đường thẳng sau:
d:{x=1+2ty=tz=3−t d′:{x=ty=−1−2tz=2+t
Lời giải chi tiết
Lấy điểm M(1+2t,t,3−1) nằm trên d và điểm M′(t′,−1−2t′,2+t′) nằm trên d’.
Rõ ràng A∉d và A∉d′. Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức →AM và →AM′ cùng phương.
Ta có →AM=(2t,1+t,2−t); →AM′=(−1+t′,−2t′,1+t′).
Do đó:
[→AM,→AM′]=(|1+t2−t−2t′1+t′|;|2−t2t1+t′−1+t′|;|2t1+t−1+t′−2t′|)=(1+t+5t′−tt′;−2−t+2t′−3tt′;1+t−t′−5tt′)
Hai vectơ →AM và →AM′ cùng phương khi và chỉ khi [→AM,→AM′]=→0 hay:
{1+t+5t′−tt′=0−2−t+2t′−3tt′=01+t−t′−5tt′=0
Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ
{5+4t+13t′=04+4t+26t′=0.
Suy ra t=−32;t′=113. Khi đó →AM=(−3;−12;72).
Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và M, Δ có vectơ chỉ phương →u=2→AM=(−6;−1;7) nên có phương trình tham số là:
{x=1−6ty=−1−tz=1+7t
Cách khác:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.
Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương →u=(2;1;−1) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận [→u,→M0A]=(−3;4;−2) là vectơ pháp tuyến.
Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy phương trình của Δ là {3x+4y−2z+9=0x+y+z−1=0 hay {x=1−6ty=−1−tz=1+7t,t∈R.
