Chứng minh:
LG a
\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(4 \pm 2\sqrt 3 \)
\(= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 \)
\(= {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\)
nên
\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\(\begin{array}{l}
= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\
= \left| {\sqrt 3 + 1} \right| - \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\
= \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\\
= 2
\end{array}\)
LG b
\(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\)
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)
Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\)
\( = 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} \) \(+ 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)\(.\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right) \)
\( = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\).
Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\)
Mà \({x^3} - 3x - 18\) \( = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên (*) \( \Leftrightarrow \) x=3
(vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))
Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\)
