LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: y=x+22x+1
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: D=R∖{−12}
+) Sự biến thiên:
y′=−3(2x+1)2<0∀x∈D
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−12) và (−12;+∞)
Giới hạn:
limyx→−12−=−∞;limyx→−12+=+∞
Hầm số không có cực trị.
Tiệm cận đứng: x=−12
limyx→±∞=12
Tiệm cận ngang y=12
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao Ox tại điểm (−2;0)
Đồ thị giao Oy tại điểm (0;2)
LG b
Chứng minh rằng đường thẳng y=mx+m−1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
Lời giải chi tiết:
Ta có y=mx+m−1 ⇔y+1=m(x+1)
Tọa độ điểm cố định A của đường thẳng là nghiệm của hệ:
{x+1=0y+1=0⇔{x=−1y=−1
Vậy A(−1;−1)
Thay tọa độ của A vào công thức hàm số ta thấy: −1=−1+22.(−1)+1 (đúng) nên A thuộc đường cong (H).
Cách khác:
Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx+m-1 luôn đi qua là I.
Ta có I(x0;x0+22x0+1)∈(H) thay vào phương trình y=mx+m-1 được:
Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi:
Vậy đường thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua 1 điểm cố định I(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.
LG c
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:
m(x+1)−1=x+22x+1⇔(2x+1)[m(x+1)−1]=x+2⇔m(x+1)(2x+1)−(2x+1)=x+2⇔(x+1)(2mx+m)−3x−3=0⇔(x+1)(2mx+m)−3(x+1)=0⇔(x+1)(2mx+m−3)=0⇔[x=−1f(x)=2mx+m−3=0(1)
Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của tiệm cận đứng x=−12
Điểm A(−1;−1) thuộc nhánh trái của (H) vì xA=−1<−12
Đường thẳng cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm x<−12 và x≠−1 tức
{2m≠0x=−m+32m<−12f(−1)≠0 ⇔{m≠0−12+32m<−12−m−3≠0
⇔{m≠032m<0−m≠3⇔{m≠0m<0m≠−3
⇔m<−3hoặc−3<m<0.
